Блог

Решение:

    Продолжим АВ и CD до их пересечения в точке К. Из точки Е проведём перпендикуляр (он и является расстоянием) EP до прямой СD:

    Из подобия треугольников ΔВКС и ΔAKD (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠KAD и ∠KBC прямые) пропорциональны стороны:

$\frac{BK}{AK}=\frac{CK}{DK}=\frac{BC}{AD}=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$

    Тогда ВК = 4х и АК = 9х, в прямоугольных ΔВКС и ΔAKD, по теореме Пифагора, получим:

$$\begin{gathered} CK=\sqrt{B{K}^2+B{C}^2}=\sqrt{(4x{)}^2+{20}^2}=\sqrt{16x^2+400}=\sqrt{16\cdot (x^2+25)}=4\cdot \sqrt{x^2+25} \\ DK=\sqrt{A{K}^2+A{D}^2}=\sqrt{(9x{)}^2+{45}^2}=\sqrt{81x^2+2025}=\sqrt{81\cdot (x^2+25)}=9\cdot \sqrt{x^2+25} \end{gathered}$$

    По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь): 
    Если из одной точки к окружности проведены секущая (DK) и касательная (KA), то произведение всей секущей (DK) на ее внешнюю часть (CK) равно квадрату отрезка касательной (KE). 

$$\begin{gathered} K{E}^2=CK\cdot DK \\ K{E}^2=4\cdot \sqrt{x^2+25}\cdot 9\cdot \sqrt{x^2+25}=36\cdot (x^2+25) \\ KE=\sqrt{36\cdot (x^2+25)}=6\cdot \sqrt{x^2+25} \end{gathered}$$

    Из подобия треугольников ΔЕРК и ΔADK (по 2 равным углам, ∠K – общий, ∠ЕРК и ∠DAK прямые) пропорциональны стороны:

$$\begin{gathered} \frac{EP}{KE}=\frac{AD}{DK} \\ EP=\frac{AD\cdot KE}{DK} \\ EP=\frac{45\cdot 6\sqrt{x^2+25}}{9\cdot \sqrt{x^2+25}}=\frac{5\cdot 6\cdot 1}{1\cdot 1}=30 \end{gathered}$$

Ответ: 30.